Как математик-профессионал я считаю, что в обыденных представлениях о том, чем и как заниматься с детьми дошкольного возраста, царит традиция, в общем-то, идущая от наших <взрослых>, родительских представлений, а не от внутренних возможностей и, главное, потребностей детей.
***
Когда она начинается? Такие сценки каждый из вас наблюдал не раз. Мама прячется за штору, потом с улыбкой выглядывает и говорит: <Ку-ку!>. И снова прячется. А совсем ещё крошечный малыш при каждом её появлении хлопает в ладоши и радостно визжит. Оба совершенно счастливы. Обоим, конечно же, и в голову не приходит, что они занимаются математикой.
Я написал эту фразу не для того, чтобы шокировать читателя или подцепить его на удочку притянутого за уши парадокса. Я это всерьёз. Если почитать труды психологов, можно узнать, что в возрасте до полутора лет основная интеллектуальная задача, которая стоит перед ребёнком, заключается в том, чтобы открыть закон постоянства объектов. То есть, что вещи не исчезают, когда мы перестаём их видеть, а остаются существовать там же, где были, - существовать без нас. Оказывается, такой важный объект, как мама, исчезнув за портьерой, всё же продолжает быть где-то здесь, и вскоре появляется из-за той же портьеры...
***
...Пройдёт ещё немного времени, и ребёнка начнут уже совершенно сознательно <обучать математике>. На практике это обычно означает, что его будут учить считать. Спору нет, умение считать - вещь важная и полезная. Но нам, взрослым, бывает очень трудно понять, что´ это умение означает в реальности. Давайте встанем на место ребёнка и попробуем сами научиться арифметике... но только по-японски!
Итак, вот вам первые десять чисел: и´ ти, ни, сан, си, го, ро´ ку, си´ ти, ха´ ти, ку, дзю.
Первое задание - выучить эту последовательность наизусть. Вы увидите, что это не так-то просто. Когда это наконец удастся, можете приступать ко второму заданию: попробуйте научиться считать также и в обратном порядке, от дзю до ити. Если и это уже удаётся, давайте начнём вычислять. Сколько будет к року прибавить сан? А от сити отнять го? А хати поделить на си?
А теперь давайте решим задачу. Мама купила на базаре ку яблок и дала по ни яблок каждому из си детей; сколько яблок у неё осталось? Очень трудное, но обязательное условие - не переводить на русский, даже в уме...
Вторая тема, традиционно фигурирующая в дошкольной математике-это геометрия. Считается, что детям нужно сообщить некоторый (довольно скромный) набор сведений, касающихся геометрических фигур: что такое треугольник, квадрат, круг, угол, прямая, отрезок, а также научить их простейшим приёмам измерения.
Но давайте вдумаемся: если ребёнок легко отличает вилку от ложки, почему же ему трудно отличить квадрат от треугольника? Да ему и не трудно вовсе! В чём он действительно испытывает трудность, так это в уяснении логических взаимоотношений между понятиями, а также тех действий, которые можно с фигурами совершать.
Многие первоклассники, например, считают, что если нарисовать квадрат косо (повернутым на 45 градусов), то он перестанет быть квадратом и станет просто четырёхугольником. А вопрос о том, чего вообще больше - квадратов или четырёхугольников, требует уже вовсе недюжинной логики.
В своих опытах он /Жан Пиаже/ установил: маленькие дети не понимают того, что нам с вами кажется самоочевидным - если несколько предметов как-нибудь переставить или переместить, то их количество от этого не изменится... К сожалению, самый распространённый приём, которым пользуются в такой ситуации почти все взрослые, состоит в том, чтобы начать детям изо всех сил что-то втолковывать. <Ну как же так! - с наигранным удивлением говорит взрослый. - Откуда же их могло стать больше? Ведь мы же никаких новых монет не добавляли! Ведь мы их только раздвинули - и всё. Ведь раньше же их было поровну - вы же сами говорили! Значит, их никак не могло стать больше. К о н е ч н о ж е (выделяем голосом), монет и пуговиц осталось поровну!>
Старания напрасны - такая педагогика никуда не ведёт. Точнее, ведёт в тупик. Во-первых, не надейтесь, что ваша логика в чём-нибудь убедит ребёнка. Логические структуры он усвоит ещё позже, чем закон сохранения количества предметов. Пока этого не произойдёт, логические рассуждения не покажутся ему убедительными. Убедительной является только интонация вашего голоса. А она покажет ребёнку лишь то, что он опять оказался не на высоте и что-то сделал не так. Дети сдаются не сразу, их здравый смысл не так-то легко сломить. Но если насесть как следует, можно добиться того, что они перестанут опираться на собственный ум и наблюдательность, а будут пытаться угадать, чего желает от них взрослый. Взрослые вообще предъявляют детям множество необъяснимых требований: почему-то нельзя рисовать на стене; почему-то надо идти ложиться спать, когда игра в самом разгаре; почему-то нельзя спрашивать: "А когда этот дядя уйдёт?". Вот и сейчас происходит что-то аналогичное: хотя я прекрасно вижу, что монет больше, чем пуговиц, но почему-то полагается отвечать, что их поровну. Отношение к математике как к некоему ритуалу, в котором нужно произносить определённые заклинания в определённом порядке, зарождается в школе и прекрасно доживает до университета, где его можно встретить даже у студентов-математиков.
***
-А чего вообще на свете больше - квадратов или четырёхугольников?
-Квадратов! - дружно и без тени сомнения отвечают дети.
-Потому что их легче вырезать, - объясняет Дима.
-Потому что их много в домах, на крыше, на трубе, - объясняет Женя.
Такова завязка этой истории. А развязка произошла через полтора года, без всякой подготовки и даже без всякого внешнего повода. Летом на прогулке в лесу Дима неожиданно сказал мне:
-Папа, помнишь, ты давал нам задачу про квадраты и четырёхугольники - чего больше. Так мне кажется, мы тогда тебе неправильно ответили. На самом деле больше четырёхугольников.
И дальше довольно толково объяснил, почему. С тех пор я и исповедую принцип: вопросы важнее ответов.
история редактирования
остальное отрывками
в лагере. 
Собственно, за этим-то и нужны лицеи в первую очередь.