Ну тут все элементарно. Договор перевозки груза в письменной форме не заключался. Значит ответственность за сохранность груза лежит на перевозчике. Обязанность расставить и зафиксировать груз лежит на перевозчике.

А вот почему у него не включается стиралка - его проблемы. У меня тоже есть дома неисправная стиралка. Если я повезу ее дочке и потом скажу, что она не включается, что за ремонт будет платить перевозчик? Он не обязан удостоверять работоспособность перевозимой техники (если это не прописано в договоре).

То есть за стиралку он мне ничего предьявить не может?

может.
но. ему нужно доказать причинно-следственную связь между падением стиралки и её неработоспособностью.
сможет?
в любом случае - взыскивать эти пять тысяч он может только через суд.
там и доказывать кто есть ху.

шлите их в пень, договора нет, причинно-следственную связь врядли докажут