Захожу у себя на компьютере под другим именем и снова приходится входить на сайты...Также проблема со Skype Portable: тоже приходится вводить...В чем проблема? А если я за другим компом захочу поработать?

Cookies включены? После завершения работы не удаляются? Посмотри настройки браузера.

Проблема только при смене пользователя в Windows. Если заходить под одним и тем же пользователем, то настройки сохраняются....

Для каждого юзера ось создаёт свою папку с профилем, где хранятся куки от браузера и настройки прочих программ. В куках записываются текущие сессии с сайтов, где были сделаны логины. Если уж так нужно - папку хранения куков можно перенести из папки профиля в папку с установленным браузером - в "Program Files" (и добавить права на запись туда для группы "юзеры"), тогда куки будут загружаться независимо от логина windows. Но сейчас многие браузеры изначально инсталлируются в папку профиля юзера, а не в "Program Files", чтобы не требовать повышенных прав для установки.
По Skype Portable - это неофициальная поделка, надо искать куда она сохраняет автологины-пароли.
Всё это снижает безопасность личных данных пользователя и безопасность системы (запись в programfiles).