Есть авто, списан в утиль. Документов нет. При замене двигателя с такого авто будут проблемы? Или сейчас реально не смотрят номер двигателя и регистрировать замену не обязательно?

Когда снимали машину для утилизации Вам надо было сделать высвобождение агрегатов(по-моему так называется), т.е. автомобиль у Вас в утиль, а на двигатель документы остаются. Если Вы будете ставить теперь этот двигатель на другой авто, у Вас возникнет много проблем, а скорее всего Вам его просто не зарегистрируют.

Каким это образом они узнают, что это не родной двигатель, если сейчас на осмотре номер двигателя не проверяют? Даже в СОР не пишется номер двигателя.

Может быть сейчас уже в свидетельстве о регистрации и не пишется, но вот летом прошлого года при регистрации авто, номера смотрели, сверяли с ПТС и в свидетельстве о регистрации ТС номер двигателя прописан.