Я сейчас хотел, но видать до осени придется подождать.

Надо спиливать когда сокодвижение не сильное, ранней весной или осенью.
Если сейчас спилить будут соком истекать и могут пока заживает затормозить рост, хотя иногда наоборот повреждения усиливают приток питания и лучше растёт, но если большую ветку спилишь, однозначно будет плохо.
В старину яблони которые плохо плодоносят стегали плетью
, от повреждений она расти начинала.
Сейчас можно мелкие вырезать, проредить, чтобы солнце внутри кроны проходило.
Считается, что крона должна быть такой, чтобы воробей мог пролететь сквозь неё.
Про обрезку есть много роликов в интернете, что и как обрезают.

Это все понятно. Но я боюcь, что если сейчас не спилить, то летом дерево разломится вдоль. И погибнет все. Поживем увидим.

Подстрахуйте, поставьте подпоры.

Никогда не парился такими мелочами. Если мне мешает ветка, так я её режу. И не важно если это поздняя весна или лето. Гораздо хуже будет если вы мешающей веткой нанесёте себе травму или в разломе (трещине) поселятся паразиты.
Стараюсь обрезку производить весной, но у меня сад не маленький, поэтому за каждой веточкой не уследишь, и как следствие приходится дорезать мешающие во время покоса газона или во время сбора урожая. То что обрезаю с яблони и сливы использую для приготовления шашлыка и копчения.
Так что обрезайте и замазывайте садовым варом.